Package set-size-thm: set-size-thm

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• Package tarball set-size-thm-1.11.tgz
• Theory file set-size-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ Set.size Set.∅ = Number.Numeral.zero

⊦ Set.hasSize Set.universe
    (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))

⊦ ∀x.
    Set.hasSize (Set.insert x Set.∅)
      (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)

⊦ ∀x.
    Set.size (Set.insert x Set.∅) = Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero

⊦ ∀s. Set.finite s ⇔ Set.hasSize s (Set.size s)

⊦ ∀s. Set.hasSize s Number.Numeral.zero ⇔ s = Set.∅

⊦ ∀s n. Set.hasSize s n ⇒ Set.size s = n

⊦ ∀s. Set.finite s ⇒ (Set.size s = Number.Numeral.zero ⇔ s = Set.∅)

⊦ ∀f s.
    Set.finite s ⇒ Number.Natural.≤ (Set.size (Set.image f s)) (Set.size s)

⊦ ∀n.
    Set.hasSize (Set.fromPredicate (λv. ∃m. v = m ∧ Number.Natural.< m n))
      n

⊦ ∀n.
    Set.size (Set.fromPredicate (λv. ∃m. v = m ∧ Number.Natural.< m n)) = n

⊦ ∀a b.
    Set.⊂ a b ∧ Set.finite b ⇒ Number.Natural.< (Set.size a) (Set.size b)

⊦ ∀a b.
    Set.⊆ a b ∧ Set.finite b ⇒ Number.Natural.≤ (Set.size a) (Set.size b)

⊦ ∀n.
    Set.hasSize (Set.fromPredicate (λv. ∃m. v = m ∧ Number.Natural.≤ m n))
      (Number.Natural.+ n (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))

⊦ ∀n.
    Set.size (Set.fromPredicate (λv. ∃m. v = m ∧ Number.Natural.≤ m n)) =
    Number.Natural.+ n (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)

⊦ ∀f s t.
    Set.finite t ∧ Set.⊆ s (Set.image f t) ⇒
    Number.Natural.≤ (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Number.Natural.≤ (Set.size (Set.∪ s t))
      (Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t))

⊦ ∀s t. Set.finite t ∧ Set.⊆ s t ⇒ (Set.size s = Set.size t ⇔ s = t)

⊦ ∀a b. Set.finite b ∧ Set.⊆ a b ∧ Set.size a = Set.size b ⇒ a = b

⊦ ∀a b.
    Set.finite b ∧ Set.⊆ a b ∧ Number.Natural.≤ (Set.size b) (Set.size a) ⇒
    a = b

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size (Set.cross s t) = Number.Natural.* (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s n.
    Set.finite s ∧ Number.Natural.≤ n (Set.size s) ⇒
    ∃t. Set.⊆ t s ∧ Set.hasSize t n

⊦ ∀s n.
    (Set.finite s ⇒ Number.Natural.≤ n (Set.size s)) ⇒
    ∃t. Set.⊆ t s ∧ Set.hasSize t n

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.⊆ t s ⇒
    Set.size (Set.- s t) = Number.Natural.- (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size (Set.∪ s t) =
    Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size (Set.- t s))

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ⇒
    Set.hasSize (Set.cross s t) (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀x s.
    Set.finite s ⇒
    Set.size (Set.delete s x) =
    if Set.∈ x s then
      Number.Natural.- (Set.size s)
        (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)
    else Set.size s

⊦ ∀s.
    Set.finite s ⇒
    Set.size (Set.fromPredicate (λv. ∃t. v = t ∧ Set.⊆ t s)) =
    Number.Natural.exp
      (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero))
      (Set.size s)

⊦ ∀s n.
    Set.hasSize s n ⇒
    Set.hasSize (Set.fromPredicate (λv. ∃t. v = t ∧ Set.⊆ t s))
      (Number.Natural.exp
         (Number.Numeral.bit0 (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)) n)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    (Set.size (Set.∪ s t) = Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t) ⇔
     Set.disjoint s t)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.disjoint s t ⇒
    Set.size (Set.∪ s t) = Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s n.
    Set.hasSize s (Number.Natural.suc n) ⇔
    ¬(s = Set.∅) ∧ ∀a. Set.∈ a s ⇒ Set.hasSize (Set.delete s a) n

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size (Set.∪ s t) =
    Number.Natural.- (Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t))
      (Set.size (Set.∩ s t))

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Number.Natural.+ (Set.size (Set.∪ s t)) (Set.size (Set.∩ s t)) =
    Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧
    Number.Natural.< (Set.size (Set.∪ s t))
      (Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t)) ⇒ ¬Set.disjoint s t

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ∧ Set.disjoint s t ⇒
    Set.hasSize (Set.∪ s t) (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ∧ Set.⊆ t s ⇒
    Set.hasSize (Set.- s t) (Number.Natural.- m n)

⊦ Set.size Set.∅ = Number.Numeral.zero ∧
  ∀x s.
    Set.finite s ⇒
    Set.size (Set.insert x s) =
    if Set.∈ x s then Set.size s else Number.Natural.suc (Set.size s)

⊦ ∀s t u.
    Set.finite u ∧ Set.disjoint s t ∧ Set.∪ s t = u ⇒
    Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t) = Set.size u

⊦ ∀s f.
    Set.finite s ∧ Set.image f s = s ⇒
    ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size
      (Set.fromPredicate
         (λv. ∃x y. v = Data.Pair., x y ∧ Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t)) =
    Number.Natural.* (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s n.
    Set.hasSize s n ⇒
    ∃f.
      (∀m. Number.Natural.< m n ⇒ Set.∈ (f m) s) ∧
      ∀x. Set.∈ x s ⇒ ∃!m. Number.Natural.< m n ∧ f m = x

⊦ ∀f s.
    (∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ Set.finite s ⇒
    Set.size (Set.image f s) = Set.size s

⊦ ∀P.
    P Set.∅ ∧
    (∀s.
       Set.finite s ∧ ¬(s = Set.∅) ⇒
       ∃x. Set.∈ x s ∧ (P (Set.delete s x) ⇒ P s)) ⇒ ∀s. Set.finite s ⇒ P s

⊦ ∀f s n.
    (∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
    (Set.hasSize (Set.image f s) n ⇔ Set.hasSize s n)

⊦ ∀f s n.
    (∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ Set.hasSize s n ⇒
    Set.hasSize (Set.image f s) n

⊦ (∀s. Set.hasSize s Number.Numeral.zero ⇔ s = Set.∅) ∧
  ∀s n.
    Set.hasSize s (Number.Natural.suc n) ⇔
    ∃a t. Set.hasSize t n ∧ ¬Set.∈ a t ∧ s = Set.insert a t

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ⇒
    Set.hasSize
      (Set.fromPredicate
         (λv. ∃x y. v = Data.Pair., x y ∧ Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t))
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀f s t.
    Set.finite s ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃!x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇒ Set.size t = Set.size s

⊦ ∀s t f.
    Set.finite s ∧ Set.size s = Set.size t ∧ Set.image f s = t ⇒
    ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧
    Number.Natural.≤ (Set.size s) (Set.size t) ⇒
    ∃f.
      Set.⊆ (Set.image f s) t ∧
      ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧
    (∀x.
       Set.∈ x s ⇒
       Set.finite (t x) ∧ Number.Natural.≤ (Set.size (t x)) n) ⇒
    Number.Natural.≤
      (Set.size
         (Set.bigUnion (Set.fromPredicate (λv. ∃x. v = t x ∧ Set.∈ x s))))
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.hasSize (t x) n) ⇒
    Set.hasSize
      (Set.fromPredicate
         (λv. ∃x y. v = Data.Pair., x y ∧ Set.∈ x s ∧ Set.∈ y (t x)))
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀d s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size
      (Set.fromPredicate
         (λv.
            ∃f.
              v = f ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
              ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ f x = d)) =
    Number.Natural.exp (Set.size t) (Set.size s)

⊦ ∀d s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ⇒
    Set.hasSize
      (Set.fromPredicate
         (λv.
            ∃f.
              v = f ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
              ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ f x = d)) (Number.Natural.exp n m)

⊦ ∀s t f g n.
    (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y) ∧ Set.hasSize s n ⇒
    Set.hasSize t n

⊦ ∀s t f g.
    (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y) ⇒
    ∀n. Set.hasSize s n ⇔ Set.hasSize t n

⊦ ∀s f.
    Set.finite s ∧ Set.⊆ (Set.image f s) s ⇒
    ((∀y. Set.∈ y s ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t f g.
    (Set.finite s ∨ Set.finite t) ∧
    (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y) ⇒ Set.size s = Set.size t

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.size s = Set.size t ⇒
    ∃f g.
      (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
      ∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y

⊦ ∀s t f.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.size s = Set.size t ∧
    Set.⊆ (Set.image f s) t ⇒
    ((∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.hasSize (t x) n) ∧
    (∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ ¬(x = y) ⇒ Set.disjoint (t x) (t y)) ⇒
    Set.hasSize
      (Set.bigUnion (Set.fromPredicate (λv. ∃x. v = t x ∧ Set.∈ x s)))
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.size s = Set.size t ⇒
    ∃f.
      (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
      (∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ∧
      ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

Input Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Pair
    • Data.Pair.*
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.natural
• Set
  • Set.set

Input Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∃!
    • ∨
    • ~
    • cond
    • F
    • T
  • Pair
    • Data.Pair.,
• Number
  • Natural
    • Number.Natural.*
    • Number.Natural.+
    • Number.Natural.-
    • Number.Natural.<
    • Number.Natural.≤
    • Number.Natural.exp
    • Number.Natural.suc
  • Numeral
    • Number.Numeral.bit0
    • Number.Numeral.bit1
    • Number.Numeral.zero
• Set
  • Set.-
  • Set.∅
  • Set.bigUnion
  • Set.cross
  • Set.delete
  • Set.disjoint
  • Set.finite
  • Set.fold
  • Set.fromPredicate
  • Set.hasSize
  • Set.image
  • Set.∈
  • Set.insert
  • Set.∩
  • Set.⊂
  • Set.size
  • Set.⊆
  • Set.∪
  • Set.universe

Assumptions

⊦ T

⊦ Set.finite Set.∅

⊦ Set.bigUnion Set.∅ = Set.∅

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ Number.Numeral.zero n

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ ∀s. Set.⊆ Set.∅ s

⊦ ∀s. Set.⊆ s s

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero =
  Number.Natural.suc Number.Numeral.zero

⊦ ∀x. ¬Set.∈ x Set.∅

⊦ ∀a. Set.finite (Set.insert a Set.∅)

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.< n n

⊦ ∀n. Number.Natural.< n (Number.Natural.suc n)

⊦ (~) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = Number.Numeral.zero)

⊦ ∀m. Number.Natural.- m Number.Numeral.zero = m

⊦ ∀n. Number.Natural.- n n = Number.Numeral.zero

⊦ Set.universe = Set.insert T (Set.insert F Set.∅)

⊦ ∀n. Number.Numeral.bit0 n = Number.Natural.+ n n

⊦ ∀s t. Set.disjoint s (Set.- t s)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀m.
    Number.Natural.suc m =
    Number.Natural.+ m (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero)

⊦ ∀n. Number.Numeral.bit1 n = Number.Natural.suc (Number.Natural.+ n n)

⊦ ∀n.
    Number.Natural.- (Number.Natural.suc n)
      (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = n

⊦ ∀x s. ¬(Set.insert x s = Set.∅)

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀f y. (let x = y in f x) = f y

⊦ ∀p. ∃x y. p = Data.Pair., x y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) n = m

⊦ ∀s x. Set.finite (Set.delete s x) ⇔ Set.finite s

⊦ ∀s x. Set.finite (Set.insert x s) ⇔ Set.finite s

⊦ ∀s t. Set.finite s ⇒ Set.finite (Set.- s t)

⊦ ∀s t. Set.∪ s t = Set.∪ t s

⊦ ∀f s. Set.finite s ⇒ Set.finite (Set.image f s)

⊦ ∀p x. Set.∈ x (Set.fromPredicate p) ⇔ p x

⊦ ∀s.
    Set.size s =
    Set.fold (λx n. Number.Natural.suc n) s Number.Numeral.zero

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) n ⇔ Number.Natural.< m n

⊦ ∀m. m = Number.Numeral.zero ∨ ∃n. m = Number.Natural.suc n

⊦ ∀s. (∃x. Set.∈ x s) ⇔ ¬(s = Set.∅)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
    Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = m ⇔ n = Number.Numeral.zero

⊦ ∀s t. Set.disjoint s t ⇔ Set.∩ s t = Set.∅

⊦ ∀s t. Set.⊆ s t ⇔ Set.∪ s t = t

⊦ ∀s t. Set.- s t = Set.∅ ⇔ Set.⊆ s t

⊦ ∀s t. Set.- s t = s ⇔ Set.disjoint s t

⊦ ∀s t. Set.- (Set.- s t) t = Set.- s t

⊦ ∀s t. Set.∪ (Set.- s t) t = Set.∪ s t

⊦ ∀s t. Set.finite t ∧ Set.⊆ s t ⇒ Set.finite s

⊦ ∀s u. Set.bigUnion (Set.insert s u) = Set.∪ s (Set.bigUnion u)

⊦ Set.fromPredicate
    (λv. ∃m. v = m ∧ Number.Natural.< m Number.Numeral.zero) = Set.∅

⊦ ∀x s. Set.delete s x = s ⇔ ¬Set.∈ x s

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t. Set.finite (Set.∪ s t) ⇔ Set.finite s ∧ Set.finite t

⊦ ∀s t. Set.finite s ∨ Set.finite t ⇒ Set.finite (Set.∩ s t)

⊦ ∀P. (∀p. P p) ⇔ ∀p1 p2. P (Data.Pair., p1 p2)

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ ∀s t x. Set.⊆ s t ⇒ Set.⊆ s (Set.insert x t)

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀x s. Set.∈ x s ⇒ Set.insert x (Set.delete s x) = s

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n m ⇔ m = n

⊦ ∀s n. Set.hasSize s n ⇔ Set.finite s ∧ Set.size s = n

⊦ ∀s t. Set.∪ s (Set.- t s) = t ⇔ Set.⊆ s t

⊦ ∀s t. Set.⊆ s t ∧ Set.⊆ t s ⇒ s = t

⊦ ∀PAIR'. ∃fn. ∀a0 a1. fn (Data.Pair., a0 a1) = PAIR' a0 a1

⊦ (∀s. Set.∪ Set.∅ s = s) ∧ ∀s. Set.∪ s Set.∅ = s

⊦ ∀f s x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) (Set.image f s)

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇔ Number.Natural.≤ m n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀s t. Set.⊂ s t ⇔ Set.⊆ s t ∧ ¬(s = t)

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀s. Set.bigUnion s = Set.∅ ⇔ ∀t. Set.∈ t s ⇒ t = Set.∅

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∧ t2 ∧ t3 ⇔ (t1 ∧ t2) ∧ t3

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀p q r. p ∧ q ⇒ r ⇔ p ⇒ q ⇒ r

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.< m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
    Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.≤ m p

⊦ ∀s t. s = t ⇔ ∀x. Set.∈ x s ⇔ Set.∈ x t

⊦ ∀s t. Set.⊆ s t ⇔ ∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ x t

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< n m ⇒
    Number.Natural.suc (Number.Natural.- m (Number.Natural.suc n)) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀s.
    Set.finite s ⇒
    (Set.finite (Set.bigUnion s) ⇔ ∀t. Set.∈ t s ⇒ Set.finite t)

⊦ ∀s t. Set.disjoint s (Set.bigUnion t) ⇔ ∀x. Set.∈ x t ⇒ Set.disjoint s x

⊦ ∀P.
    P Number.Numeral.zero ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀p x. Set.∈ x (Set.fromPredicate (λv. ∃y. v = y ∧ p y)) ⇔ p x

⊦ ∀x y s. Set.∈ x (Set.insert y s) ⇔ x = y ∨ Set.∈ x s

⊦ ∀x s t. Set.⊆ (Set.insert x s) t ⇔ Set.∈ x t ∧ Set.⊆ s t

⊦ ∀s t x. Set.∈ x (Set.∩ s t) ⇔ Set.∈ x s ∧ Set.∈ x t

⊦ ∀s t x. Set.∈ x (Set.∪ s t) ⇔ Set.∈ x s ∨ Set.∈ x t

⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y

⊦ ∀f s. Set.fromPredicate (λv. ∃x. v = f x ∧ Set.∈ x s) = Set.image f s

⊦ ∀x s t. Set.disjoint (Set.insert x s) t ⇔ ¬Set.∈ x t ∧ Set.disjoint s t

⊦ ∀s x y. Set.∈ x (Set.delete s y) ⇔ Set.∈ x s ∧ ¬(x = y)

⊦ ∀s t x. Set.∈ x (Set.- s t) ⇔ Set.∈ x s ∧ ¬Set.∈ x t

⊦ ∀s. s = Set.∅ ∨ ∃x t. s = Set.insert x t ∧ ¬Set.∈ x t

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∀x. P x) ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∃x. P x) ⇒ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ (∀n. Number.Natural.+ Number.Numeral.zero n = n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀y s f. Set.∈ y (Set.image f s) ⇔ ∃x. y = f x ∧ Set.∈ x s

⊦ (∀n. Number.Natural.* Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n

⊦ ∀x y a b. Data.Pair., x y = Data.Pair., a b ⇔ x = a ∧ y = b

⊦ ∀x y s t. Set.∈ (Data.Pair., x y) (Set.cross s t) ⇔ Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t

⊦ ∀m n p q.
    Number.Natural.≤ m p ∧ Number.Natural.≤ n q ⇒
    Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ (∀m.
     Number.Natural.exp m Number.Numeral.zero =
     Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ ∀t.
    Set.fromPredicate
      (λv. ∃x y. v = Data.Pair., x y ∧ Set.∈ x Set.∅ ∧ Set.∈ y (t x)) =
    Set.∅

⊦ ∀x s t.
    Set.∪ (Set.insert x s) t =
    if Set.∈ x t then Set.∪ s t else Set.insert x (Set.∪ s t)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m Number.Numeral.zero ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀f. Set.image f Set.∅ = Set.∅) ∧
  ∀f x s. Set.image f (Set.insert x s) = Set.insert (f x) (Set.image f s)

⊦ ∀s t.
    Set.cross s t =
    Set.fromPredicate
      (λv. ∃x y. v = Data.Pair., x y ∧ Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t)

⊦ ∀n.
    Set.fromPredicate
      (λv. ∃m. v = m ∧ Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n)) =
    Set.insert n (Set.fromPredicate (λv. ∃m. v = m ∧ Number.Natural.< m n))

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m Number.Numeral.zero ⇔ m = Number.Numeral.zero) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀P a b.
    Set.∈ (Data.Pair., a b)
      (Set.fromPredicate (λv. ∃x y. v = Data.Pair., x y ∧ P x y)) ⇔ P a b

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀P.
    P Set.∅ ∧
    (∀x s. P s ∧ ¬Set.∈ x s ∧ Set.finite s ⇒ P (Set.insert x s)) ⇒
    ∀s. Set.finite s ⇒ P s

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀f s.
    (∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
    (Set.finite (Set.image f s) ⇔ Set.finite s)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀d t.
    Set.fromPredicate
      (λv.
         ∃f.
           v = f ∧ (∀x. Set.∈ x Set.∅ ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
           ∀x. ¬Set.∈ x Set.∅ ⇒ f x = d) = Set.insert (λx. d) Set.∅

⊦ ∀f s t.
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇔
    ∃g. ∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y

⊦ (∀n. Number.Natural.+ Number.Numeral.zero n = n) ∧
  (∀m. Number.Natural.+ m Number.Numeral.zero = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀s t a.
    Set.fromPredicate
      (λv.
         ∃x y.
           v = Data.Pair., x y ∧ Set.∈ x (Set.insert a s) ∧
           Set.∈ y (t x)) =
    Set.∪ (Set.image (Data.Pair., a) (t a))
      (Set.fromPredicate
         (λv. ∃x y. v = Data.Pair., x y ∧ Set.∈ x s ∧ Set.∈ y (t x)))

⊦ ∀s.
    Set.fromPredicate (λv. ∃t. v = t ∧ Set.⊆ t s) =
    Set.image (λp. Set.fromPredicate (λv. ∃x. v = x ∧ p x))
      (Set.fromPredicate
         (λv.
            ∃p.
              v = p ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (p x) Set.universe) ∧
              ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ (p x ⇔ F)))

⊦ ∀p q r.
    (p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
    (p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ ∀f b.
    (∀x y s. ¬(x = y) ⇒ f x (f y s) = f y (f x s)) ⇒
    Set.fold f Set.∅ b = b ∧
    ∀x s.
      Set.finite s ⇒
      Set.fold f (Set.insert x s) b =
      if Set.∈ x s then Set.fold f s b else f x (Set.fold f s b)

⊦ (∀n. Number.Natural.* Number.Numeral.zero n = Number.Numeral.zero) ∧
  (∀m. Number.Natural.* m Number.Numeral.zero = Number.Numeral.zero) ∧
  (∀n. Number.Natural.* (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) n = n) ∧
  (∀m. Number.Natural.* m (Number.Numeral.bit1 Number.Numeral.zero) = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀d a s t.
    Set.fromPredicate
      (λv.
         ∃f.
           v = f ∧ (∀x. Set.∈ x (Set.insert a s) ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
           ∀x. ¬Set.∈ x (Set.insert a s) ⇒ f x = d) =
    Set.image (λ(Data.Pair., b g) x. if x = a then b else g x)
      (Set.cross t
         (Set.fromPredicate
            (λv.
               ∃f.
                 v = f ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
                 ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ f x = d)))